Vest

  Animirana božična nogavica

Božič je mimo, novoletno pa se obdarujemo do konca. Božična nogavica (angl. christmas stocking) je en od simbolov tega časa. Ponavadi se jo nastavlja na božični večer; kdor ima kamin, jo rad obeša tod. Nakar jo nekdo drug, to je mogoče Božiček, napolni z drobnimi, igračkarskimi in sladkimi rečmi. Ideja se je rodila v Nemčiji, kje v Evropi pa namesto nogavic nastavljajo čevlje, zloščene in prezračene čevlje … Vendar tole ne bo kulturološki zapis, temveč pojdimo na glavni, matematični del in ga zaokrožimo s teoremom božičnega štumfa (nem. der Strumpf nogavica).

Moramo spoznati pomen matematične kombinacije. Recimo, da imamo sedem nogavic v sedmih mavričastih barvah (angl. Roy G. Biv); ne parov, ampak sedem polovičk, nogavičk. Koliko različnih parov lahko sestavimo? Rdeče-oranžnega, rdeče-rumenega, rdeče-zelenega … in indigo-vijoličastega. Vseh 21, je do zdaj že kdo izračunal. Število kombinacij je namreč enako (7 nad 2) ali 7! / (5! 2!) = 7 6 / 2 = 21, kjer predstavlja klicaj operacijo faktoriele, recimo 4! = 4 3 2 = 24. V splošnem ima bitje k nog in m različnih nogavičk, število nogavičnih oblek pa je (n nad k) = n! / ((n - k)! k!).

Vrednosti binomskega simbola (n nad k) radi zapišemo v obliki trikotnika, rečemo mu Pascalov trikotnik. Slika levo: od zgoraj navzdol narašča n, od leve proti desni se veča k, oba pa začneta iz nule. Tako najdemo vrednost (7 nad 2) v 8. vrstici in tretjem pa tudi 6. stolpcu, saj ima trikotnik navpično simetralo. Bitje s petimi nogami ima tako na razpolago isto število nogavičnih oblek kot mi, če imamo vsi po sedem različnih nogavičk, saj (7 nad 2) = (7 nad 5).

Pascalov trikotnik ima še bolj zanimive lastnosti. Ena je ta: da če začnemo v prvem elementu poljubne vrstice in se pomikamo po en element navzdol in v desno poljubno daleč ter te vrednosti seštejemo, dobimo vsoto, ki je zapisana v elementu eno vrstico niže in tik levo od konca seštete verige, kot kaže slika desno. Video iz uvoda vsebuje nogavice različnih dolžin in mest v trikotniku, vedno pa je vsota števil na zelenih diskih enaka vrednosti v rdečem. Temu se reče teorem božične nogavice.

Sam jo rad animiram in si zraven igram: Jingle bells, jingle bells, / Jingle all the way; / Oh! what fun it is to ride / In a one-horse open sleigh. Kar ponavljam, dokler se ne naveličam. V videu se kitica ponovi petkrat, ampak se lahko ponovno stisne play. Sliko bi se dalo bolje uskladiti z zvokom, ampak s programom Windows Movie Maker sam tega ne znam. Za oboževalce Pascalovega trikotnika in teorema božične nogavice prilagam večji trikotnik, prevrnjen na glavo.