Vest

Nekaj sto let pred našim štetjem je učenjak z univerze v Aleksandriji objavil knjigo. Rekli so mu Evklid, knjigi pa je dal naslov Elementi. To je učbenik za geometrijo, v resnici iz več zvezkov, ki so jih po iznajdbi tiska oživljali v tisoč izdajah in še včeraj se je opravičilo “ti, ne morem, berem Evklida,” razumelo, kot da človek študira geometrijo. Evklid je tako morda najuspešnejši pisec učbenikov vseh časov, le majhen del vsebine Elementov pa pripisujejo njegovim lastnim raziskavam, Evklid je predvsem zbral rezultate predhodnikov. Pet znamenitih osrednjih postulatov knjige, ki veljajo v običajni dvorazsežni (Evklidovi) geometriji, gre takole:

1. Med točkama lahko potegnemo ravno črto (daljico).
2. Daljico lahko podaljšamo neomejeno v obe smeri.
3. Podamo lahko krožnico s poljubnim polmerom in središčem kjerkoli.
4. Vsi pravi koti so isti.
5. Skozi točko, ki ni na neki premici, lahko potegnemo eno premico, prvi vzporedno. (Evklid je rekel malo drugače, a enakovredno.)

Kakšni se vam zdijo? Koliko pretiravamo, če rečemo, da se postulatov zaveda danes predšolski otrok in da se bodo otroci jutri rodili s tem znanjem? Vendar danes razumemo toliko več (raztegnimo roke), včasih se ni niti dobro vedelo, kaj naj bi bil, recimo, kvadrat in ko se ga je domislilo, ga je bilo treba še dokazati. Z Evklidovimi postulati. Tudi takšni dosežki so na poti, ki je peljala človeka na Luno, ni šlo drugače.

Postulat ni brezpogojna resnica, marveč je privzeta trditev. Evklidove postulate so zamajala raziskovanja petega, paralelnega postulata, ki je očitno najbolj poseben. Mnogi so verjeli, da je odvisen od drugih in so ga skušali iz njih izpeljati. Posebej srčna je zgodba jezuita Giovannija Saccherija s konca 17. stoletja, ki je do smrti dokazoval zloglasni postulat s spodbijanjem nasprotne trditve (lat. reductio ad absordum), katere pa ni nikoli trdno ovrgel. Namesto tega je Saccheri pridelal ansambel čudnih, komaj verjetnih, a zanimivih teoremov, od katerih ni noben protisloven. V resnici opisujejo nek nov svet, novo geometrijo, drugačno od Evklidove, kjer peti postulat ne drži. Saccheri ni tega nikoli izvedel. Matematiki so misel o obstoju neevklidskih geometrij potem kmalu sprejeli, to je bil velik preboj, jih odkrili in danes se ob Evklidovi pogovarjamo še o eliptični in hiperbolični geometriji.

Poznamo naravni pojav s hiperbolično geometrijo. Poglejmo levo risanko spodaj, voziček gre v levo, mi smo pri miru in ga opazujemo. Nekdo na vozičku vrže kamen navpično navzgor.

V risanki desno nismo več pri miru, premikamo se enako hitro in vzporedno z vozičkom ter opazujemo enak met kamna. Kamen se dvigne in pade po ravni črti. Seveda, prvič se oddaljuje od nas z vodoravno hitrostjo vozička in nam prikaže značilno parabolo, drugič pa se nam lahko zdi, kakor da kamen ne gre naprej, da gledamo navpičen met, kot da vozičkov ne bi bilo. Naslednja primera sta enaka, samo da je met zdaj poševen in ima kamen tudi brez vozička neko vodoravno hitrost, v tem primeru je iste velikosti kot hitrost vozička. Parabola se v premikajočem sistemu skrči na pol. Nič presenetljivega, to je nekaj intuitivnega.

Neintuitivno je seštevanje velikih hitrosti, primerljivih s hitrostjo svetlobe. Stopimo nazaj na tla, mimo pa pridrvi voziček s hitrostjo 3/4 c, to je 75 % svetlobne hitrosti. Obenem izstreli nekaj, kar se oddaljuje s hitrostjo 3/4 c od njega. Kolikšno hitrost namerimo izstrelku mi, ki smo pri miru? Nemara 6/4 c, 150 % svetlobne hitrosti? To bi bilo nekako mogoče v vesolju Zvezdnih stez, v našem vesolju pa je hitrost svetlobe zgornja meja. Izmerili bi 24/25 c, 96 % svetlobne hitrosti. Hitrosti se seštejeta drugače, relativistično.

Popolnoma enako je seštevanje razdalj v hiperbolični geometriji. Seštejmo dolžini zaporednih rib v sliki spodaj, pa ne dobimo dvojne dolžine ene ribe. Ribe kljub temu mislijo, da se razen po barvi ne razlikujejo, da so vse enakih velikosti in oblik. Živijo v nekem svojem, hiperboličnem svetu. Mi jih gledamo v našem, Evklidovem, kjer se nam zdijo čudne, da se same sebi zdijo enake, če pa se proti robu ja ukrivljajo in neskončno pomanjšujejo.

Dejansko se ribam s položajem spreminja svet, skupaj z njimi se jim pomanjšuje tudi šiviljski meter. Avtor M. C. Escher je s to grafiko (Kreislimit I) upodobil hiperbolično geometrijo. Rob diska predstavlja neskončnost, ki ga ribe nikdar ne dosežejo, tisto prek roba pa za njih sploh ne obstaja.

Escher je upodobitev izpopolnil z grafiko Kreislimit III, kjer ribe strumno plovejo po posameznih hiperlinijah, ki so v prejšnjem primeru najkrajše poti med dvema točkama (v ribjem svetu seve), tu malenkost, a nepomembno drugače. Ribe torej plovejo v eni smeri in iz ene neskončnosti, se postopoma povečajo in spet pomanjšajo v neskončnost na drugem koncu. S štirimi barvami je Escher onemogočil srečanje istobarvnim ribam, kar mu zopet zagotavlja matematični teorem štirih barv. Escher je bil zaljubljen v matematiko. Matematika pa, če jo na kraju poosebimo, prav tako ni bila ravnodušna do Escherja. Odkrivala mu je nova in nova čuda in Escher je bil hvaležen ljubimec. Skupaj sta ustvarila več čisto pravih vesolj.

*On je dobil poln svet v svoje roke