Dokazaje gledaje
Do matematičnih resnic na nenavaden način.
Dve risbi za dva luštna izraza s funkcijami arkus tangens.
Pred časom je spletni kolega siruche predlagal, naj bo med znanostjo kakšna uganka za pretegovanje sivih celic (10. avgust, 13:25). Tokratni zapis je takšen: iz risb, s katerimi je moč dokazati matematične resnice brez računanja, samo z gledanjem. Slike spodaj so na desni oblite z rešitvami. Vidi se samo prvo, ostale so pobeljene in jih je treba označiti z miško, potem se vidi tudi njih. Mogoče jih kdo noče videti, mogoče bi rad naloge ugnal sam.
-
Vsota prvih n lihih števil je enaka n², se pravi 1 + 3 + 5 … + 2 n - 1 = n², kar kaže slika levo, na kateri je poudarjen tretji L-pas ali tretje liho število.
-
Z očmi uokvirimo pravokotnik z enako polnimi kot praznimi krogci. Stranici merita, recimo 3 in 4, zgoraj in spodaj pa sta prilagajoča se trikotnika polnih in praznih krogcev. Število enih je 3 krat 4 na pol ali 1 + 2 + 3. Iz poljubno velikega pravokotnika potemtakem sledi: 1 + 2 + … + n = n (n + 1) / 2. To je ugotovil, malo drugače, že Gauss. (Glej zapis Stare sablje.)
-
Piramide se združijo v telo. Če bi sestavili dve takšni telesi, bi dobili kvader, velikosti n (n + 1) (2n + 1). Posamezna piramida pa je sestavljena iz kvadratnih plošč, tako da velja 1² + 2² + … + n² = n (n + 1) (2n + 1) / 6.
-
Kvadrat vsote prvih n naravnih števil je enak vsoti kubov, torej 1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)², kot kaže slika s petimi kvadratnimi mrežami in L-pasovi, v katerih je dovolj prostora za dosti ustreznih mrež.
-
T(n) je n-to trikotniško število 1 + 2 + … + n; prva štiri so torej 1, 3, 6 in 10. Potem velja 8 T(n) + 1 = (2 n + 1)², kot kaže slika levo. Mrežo kvadratkov s stranico 9 sestavljajo: osem stopničastih trikotnikov - to je osem števil T(4) - in kvadratek v sredini.
-
Točke predstavljajo petkotniška števila P(n). Iz najbolj desnega oglišča se lahko sprehajamo naokrog po vse večjih petkotnikih, torej z 1, 5, 12, 22 … točkami, ki se razčetverijo na tri trikotnike in črto točk. Tako je peto petkotniško število P(5) enako trikratniku četrtega trikotniškega števila T(4) plus pet. In če velja za šest, velja vedno (indukcija), torej ima, da velja P(n) = 3 T(n-1) + n.
Večina ljudi je res optično usmerjena. Grafikon jim je bližji kot tabela.
Mene osebno pa grafični prikaz nekako omejuje v razmišljanju. Prisili me v dvo ali tridemzionalnost.
Prikazovalcu pa omogoča manipulacijo. Že izbira barv vpliva na podzavest opazovalca, kaj šele izbira lika.
Ja, tudi meni so zelo všeč ti dokazi. (By the way, v vsoti lihih števil ste se zatipkali pri oklepajih okoli 2n-1. Preverjate, ali smo budni? :-) )
Še bolj kot našteti dokazi, pa mi je všeč podoben dokaz, da je vsota geometrijske vrste
(1/4)+(1/16)+(1/64)+.. = 1/3
Zelo lep vizualni dokaz, kjer omenjeno vsoto predstavite v enakostraničnem trikotniku. (Žal vira ne poznam. :( )
Pa pišite še kaj na podobne teme in lep pozdrav, igor
Če se spomniš slike za geometrijsko vrsto, bolj natančno razloži, da jo narišem semkaj. Slišati je zanimivo.
Si jo pa mogoče že predstavljam. Slika desno kaže podobno stvar, z nje je moč prebrati: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1.
-
-
-
Robert, malo razloži, kaj si mislil z “Iz najbolj desnega oglišča se lahko sprehajamo naokrog po vse večjih petkotnikih, torej z 1, 5, 12, 22 … točkami”. Pri štetju pikic se vsakič izgubim. Še eno vprašanje: kaj predstavljajo n-ji pri piramidah? Hvala in srečno še naprej!
Siruche, živjo, najbolj desna točka je ena sama, to je desno oglišče. Naokrog po obodu skozi 20 točk. Največji petkotnik pa vsebuje teh 20 točk in še vse notri, vseh skupaj 35. Če se ne gre po prvi stranici do konca, ampak do predzadnje točke in tako naokoli po malo manjšem petkoniku, se zajame 15 + 7 = 22 točk. Še eno petkotniško število. Ta so povezana s trikotniškimi …
Piramida: n predstavlja število plošč, v risanki je n enak 5.
Add 3 (Robert)
Ja, zelo podobna ideja in podobna “fraktalna” slikica. Zamisli si enakostranični trikotnik narisan kot ponavadi v šoli (spodnja stranica je vodoravna). Razreži ga na štiri enako velike enakostranične trikotnike. Srednjega (edinega narobe obrnjenega s “špico navzdol” pobarvaj, zgornjega (ki ima eno stanico spet vodoravno) pa spet razreži na štiri enake dele in tako rekurzivno dalje…
Nisem dober v “risanju z besedami”. Morda boš pa vseeno uganil, kaj sem hotel.
1tastar,
drži, da slikice omogočajo manipulacijo. (Po internetu celo kroži šala (verižno pismo) s takšno vsebino.) Vseeno pa je dobro najprej verjeti, da je 1+2+3+…+n = n*n+n/2, preden greš skozi “muke” dokazovanja te formule z indukcijo.
Najbolj desna točka na zadnji risbi je po domače - po geografsko najbolj vzhodna med vsemi narisanimi točki. Ups, upam, da me desničarji niso slišali. :-)
Grafični izračun diagonale kvadrata!
Predstavljajmo si kvadrat s stranico a. Zanima nas dolžina diagonale. Dve stranici kvadrata zapognemo navznoter na sredini tako da dobimo štiri odseke dolžine a/4. Skupna dolžina tako nastale “diagonale” je 2a. Nato posamezne odseke ponovno zapognemo, tako da dobimo odseke dolžine a/8. Skupna dolžina tako nastale diagonale je še vedno 2a. Če vztrajno nadaljujemo, se vedno bolj približujemo diagonali, ki ima v vseh primerih dolžino 2a. Tako dobljena dolžina diagonale kvadrata je 2a.
UPS :) Očitno včasih tudi videz vara. Samo namig, težava je v zveznosti funkcije.
Grafično si vse lahko pogledate na spodnji sliki:
SLIKA
Robert in Igor, hvala za pomoč. Mimogrede: siruche ima novo povezavo. ;) Srečno!
BOTA, varajo lahko prav slike. Računi ne. Vsaj sam si ne predstavljam, kako bi lahko … Spomnim pa se enega računa, ki se varljivo zaplete. A bi ga znal odplesti?
e = e1 + 2 Pi I
e = (e1 + 2 Pi I)1 + 2 Pi I = e1 + 4 Pi I - 4 Pi² = e1 - 4 Pi²
Đukanović, nobene formule ne znam na pamet. Vsako na hitro izvedem! :)
Igor Đukanović> Zamisli si enakostranični trikotnik narisan kot ponavadi v šoli (spodnja stranica je vodoravna). Razreži ga na štiri enako velike enakostranične trikotnike. Srednjega (edinega narobe obrnjenega s “špico navzdol”
Temu se reče “trikotnik Sierpinskega”:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle
Robert, se popolnoma strinjam. Napaka ni v matematiki temveč v načinu, kako jo uporabimo. Zanka pri zgornjem primeru se skriva v potenciranju. Mi je pa primer všeč, ker na prvi pogled zgleda čisto ok.
Varajo lahko že preprosti osnovnošolski računi
če jih seveda napačno izračunamo :)
Še linka do rešitve oziroma novega primera
Rešitev zgornjega primera
Primer napačnega računanja
BOTA, “primer napačnega računanja” je najbrž napačen zato, ker se v njem deli z edino rešitvijo, ki je nič, deljenje z nič pa ni določeno? Malo spremenjen primer 5 x = x^2 ima dve rešitvi. Če ga delim z x, izgubim rešitev x = 0.
Na kraju “rešitve zgornjega primera” postaviš neenačaj, ki ne drži, saj lahko potenciraš kompleksno in dobiš (enačaj):
(Cos[a] + I Sin[a])^(I a) = Exp[-a^2]
Drži, 0/0 je nedoločena vrednost in ni nujno 1. V tem je napaka mojega računa. Tako kot je napaka zgornjega računa, da ne gre preprosto množiti potenc, če so te kompleksna števila. Mogoče primer, ki sem ga navedel ni najbolj posrečen, ker v potenci vsebuje samo imaginarni del, je pa nakazana smer v pravilno rešitev primera.
Poanta pa še vedno velja, da ni nujno, da je na videz logična rešitev pravilna. Tako kot je bil to moj primer izračuna diagonale kvadrata.
Joj, prosim če bi lahko popravili besedilo “Če bi sestavili dva takšna telesa …” iz množine v dvojino!!! Kako grdo izgleda zapisano tako kot je sedaj, prav zbode me in zaboli… Groza! Ali pa pretiravam in bi se moral navaditi na to, da se pri govorcih slovenščine občutek za dvojino že povsem izgublja?
Sicer pa zanimivo, nekaj tega sem že poznal, se mi pa to zdi neskončno težje od analitične metode. Indukcija je trivialna, ne pa mučna (vsaj v teh primerih).
Nik, te povsem razumem, mene je zdaj tudi zbodlo. Slovenščina ni moja vrlina, vendarle menim, da si je treba krepiti občutek za dvojino, zato hvala.
Praviš neskončno težje od analitičnih metod … Kako pa bi se recimo lotil problema: vsote kubov naravnih števil?, če predpostaviva, da ne veva nič o višji matematiki, kakršna je teorija funkcije zeta.
No, zdaj pa imam… sem mi je zdelo, da bom zašel v težave s tako posplošeno trditvijo še posebej ker sploh nisem preverjal primerov. Sem pa si sedaj malo ogledoval sliko vse izgleda v redu, sem pa vseeno na splošno precej skeptičen - pravilno praviš, da slike lahko varajo. Kaj pa jaz vem, kaj se dogaja s tistimi kvadratki pri n = 6, 7, 8, 10233334, …
Mislim pa, da mi je uspelo. Ampak ena stvar v vednost - jaz nisem matematik, pač pa računalničar, in znam matematike toliko, kolikor smo je imeli na faksu (pred cca. 15 leti je bilo na računalniških faksih še kar precej matematike, pozneje so večino pometali ven iz učnega programa). O zeti nimam pojma… razen da sem slišal zanjo ;)
Torej predpostavimo, da velja:
1³ + 2³ + … + (n-1)³ + n³ = (1+2+…(n-1)+n)²
S pomočjo te predpostavke moramo dokazati, da je:
1³ + 2³ + … + (n-1)³ + n³ + (n+1)³ = (1+2+…(n-1)+n+(n+1))²
Člene do n zamenjam z desno stranjo prve enačbe
(1+2+…(n-1)+n)² + (n+1)³
in poskušam izraz preoblikovati v
(1+2+…(n-1)+n+(n+1))²
Najlaže je pokazati enakost teh dveh izrazov, tako da obe vsoti n ozrioma (n+1) števil kvadriram, dobim posamezne člene in ugotovim ali je razlika enaka (n+1)3:
(1+2+…(n-1)+n)² =
= 1² + 2² + (n-1)² + n² +
+ 2 (1 2) + 2 (1 3) + … + 2 (1 (n-1)) + 2 (1 n) +
+ 2 (2 3) + 2 (2 4) + … + 2 (2 (n-1)) + 2 (2 n) +
…
+ 2 ((n-2) (n-1)) + 2 ((n-2) n) +
+ 2 ((n-1) n)
Za kvadrat (1+2+…(n-1)+n+(n+1))² velja podobno, le da ima v tem primeru vsota dodatne člene - po enega v vsaki vrstici:
… + (n+1)² + 2 1 (n+1) + 2 2 (n+1) + … + 2 (n-2) (n+1) + 2 (n-1) (n+1) + 2 n (n+1)
Torej je treba za veljavnost formule pokazati enakost:
(n+1)² + 2 1 (n+1) + 2 2 (n+1) + … + 2 (n-2) (n+1) + 2 (n-1) (n+1) + 2 n (n+1) = (n+1)³
To pa je enostavno, in sicer:
(n+1)² + 2 1 (n+1) + 2 2 (n+1) + … + 2 (n-2) (n+1) + 2 (n-1) (n+1) + 2 n (n+1) =
= (n+1)( (n+1) + 2 1 + 2 2 + … + 2 (n-2) + 2 (n-1) + 2 n) =
= (n+1)( (n+1) + 2(1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) + n)) =
= (n+1)( (n+1) + 2(n (n+1)/2 ) =
= (n+1)( (n+1) + (n (n+1) ) =
= (n+1)( (n+1)(n+1) ) =
= (n+1)³
QED.
Hvala. No, potence še vedno niso ok, ampak saj se vseeno da razumeti. Če pišeta števki 2 ali 3 tik za nekim številom ali izrazom je s tem mišljena potenca: 12 = 1 na kvadrat, 13 je 1 na tretjo n3 je n na tretjo, …
Vprašanje - kako lahko napišem potenco, tako da bo se pravilno videla v komentarju? Jaz sem pisal html ukaze sup, pa ni prijelo (2^3, 2**4)
Ne vem, zakaj “sup” tag ne dela, sumljivo. Ampak obstajata prav ASCII znakca: ³ in ². (Vključi Num Lock in poskusi “ALT + 0178″ za kvadrat in “ALT + 0179″ za kub; moraš imeti v uporabi angleško tipkovnico.) Tvoje izraze sem popravil.
Imam vprašanje o tvojem dokazovanju. Začel si z idejo, da bi našel izraz za vstoto kubov naravnih števil. Potem si takoj predpostavil, da je vsota enaka kvadratu vsote. Ampak to je bil moj rezultat. Ne bi smel tega predostaviti!? …
O super.
Hm… Kolikor vidim, sta tu dve stvari - najprej je treba priti do same hipoteze, nato pa jo matematično dokazati. Ali ti govoriš o prvem delu ali o drugem?
Prvi del je v splošnem precej težaven in nima neke neposredne zveze z matematiko - lahko se igraš s števili, lahko se igraš z vizualizacijami, kot zgoraj, eni govorijo o intuiciji, domišljiji, pesništvu, Ramanujanu je trditve šepetala v sanjah boginja Sarasvati… To po moje nima nobene zveze z mišljenjem oz. razmišljanjem, pač pa nekaj še višje od tega in povezano s procesi spoznavanja - kako se zgodi, da ti neka stvar “pade” v glavo.
Zgornja trditev je dokaj enostavna, pa je za postavitev hipoteze dovolj malo igranja s števili, kar bi mi bilo vsekakor lažje, kot pa vizualna metoda. Najprej so mi bili vsi tisti kvadratki povsem nesmiselni. Kar nekaj časa sem porabil, da sem ugotovil, kje se sploh nahaja recimo 4³ in sem moral kvadratkom dodati tretjo dimezijo in posamezne mreže zložiti v 3D kocko. Tudi če vnaprej nič ne vem o formuli, ki jo dokazujem, se mi zdi, da je dosti enostavneje opaziti 1³ = 1²; 1³ + 2³ = 9, 3² = 9; 1³ + 2³ + 3³ = 36, 6² = 36 nato pa splošni člen in zgornji dokaz z indukcijo, kot pa si zamišljati tistele kvadratke - pa tam vseeno še manjka dokaz, to je le demonstracija za prvih nekaj n. No, to je verjetno različno od človeka do človeka, pa od stvari, s katero se nekdo ukvarja (verjetno lahko kakšen naleti na problem, ki se mu zastavi v točno taki vizualni obliki), pa tudi od predznanja (torej ne samo da ne ve nič o teoriji funkcije zeta, pač pa tudi nič o analizi).
Mislil sem prvi del: kako priti do same hipoteze, da je kub enak kvadratu.
Dokazovanje s sliko ni polno dokazovanje, se povsem strinjam. Je precej drugačna stvar od analize. Če želim poiskati pravo sliko za nek “dokaz” (mogoče dobro ime: namig), saj je ne morem; kako se bom spomnil prave slike? To je zato mišljeno kot matematično šaljivo. Kot zanimivost.
Povsem dobro si argumentiral v komentarjih, bravo.
1 + 3 + 5 … + 2 n - 1 = n²
emm…
2n + 1
?
oz.
1 + 3 + 5 … + 2 n - 1 = ( n - 2 )²